MAKALAH MATEMATIKA DASAR TENTANG RELASI

BAB II PEMBAHASAN

2.1 PengertianRelasi

            Secarabahasa, kata relasiberdasarkan KKBI diartikansebagai1 hubungan; perhubungan; pertalian: banyak -- (dengan orang lain); 2 kenalan: banyak -- nya di kalanganatas; 3 pelanggan: pelayanankepada -- harusbaik

            Sedangkanpengertiannyadalamduniamatematikamenurut Wikipedia, relasiadalahhubunganantaraduaelemenhimpunan.Hubunganinibersifatabstrak, dantidakperlumemilikiartiapapunbaiksecarakonkritmaupunsecaramatematis

            Jikaterdapathimpunan A danhimpunan B (A bisasamadengan B), makarelasi (R) dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

 

Contoh:

Terdapatduahimpunan, yaituhimpunanAdanhimpunan B, berikut:

Aadalahhimpunan orang

B adalahhimpunanminuman

Dapatdinyatakandengan :

A = { Ahsan, Johnly, Putra}

B = { susu, teh, kopi}

Makajikadibuatrelasimengenai “SukaMinum” akanmenjadi

Ahsansukaminumanteh

Jhonlysukaminuman  kopi

Dan Putra sukaminumansusu

Makarelasi A ke B dapatdidefinisikansebagai R = {(Ahsan, teh), (Jhonly,kopi), (Putra, Susu)}.

Denganfungsipreposisi (x,y) = (x “SukaMinum” y).

2.2 Domain dan Range SuatuRelasi

            2.2.1 Domain 

Domain/ daerahasal/ daerahdefinisi/ ranahdarirelasi R adalahsebuahhimpunan D yang anggotanyamerupakananggotapertamadalampasanganterurut R, yaitu; D = {a : a A,(a,b) R}.

2.2.2 Range

Range/ daerahhasil/ daerahnilai/jangkauanadalahsemuaanggotahimpunanbagiandari B yang merupakananggotakeduadaripasanganterurut R, yaitu ; E = {b : b B, (a,b) R}

2.3PenyajianRelasi

            Sebuahrelasidapatdisajikandalamberbagaibentuk.Jikakitaambilsebuah data sebagaicontoh, makakitaakanmenggunakan data antarasebagaiberikut:

Himpunan A adalahhimpunankendaraan

Himpunan B adalahhimpunanbahanbakar

Makadapatdinyatakandengan:

A = {Motor, Metromini, Pesawat, Mobil}

B = {Avtur, Solar, Bensin}

Dari data diatasmakarelasidapatdisajikandalambentuk-bentuksebagaiberikut:

1.      Himpunanpasanganterurutdalambentukpendaftaran

(tabulasi),

R = {(Motor,Bensin), (Metromini,Solar), (Pesawat,Avtur), (Mobil,Bensin}

2.      Pengelompokanmelaluitabel

Kendaraan	BahanBakar
Motor	Bensin
Metromini	Solar
Pesawat	Avtur
Mobil	Bensin

3.      Diagram Panah

                                A                                     B

 

4.      Diagram Cartesius

 

      Motor

      Metromini

      Pesawat

      Mobil              

                                 Avtur                 Solar        Bensin   

2.4 Jenis-Jenis Relasi

Relasi memiliki beberapa jenis yang diantaranya adalah

1.     Relasi Invers

      Invers dari R dinyatakan dengan R ^-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan;

R -1 = {(b,a) : ( a,b) R}

Contoh :

a.       Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b} dan relasi R = {(1,a),(2,a),(2,b),(3,a)} merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi R -1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

b.      Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = {(a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b)} merupakan relasi pada W. Invers dari rel. Invers dari relasi R adalah relasi R -1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c)}.

2.     Relasi Refleksif

      R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri.atau R disebut relasi refleksif, jika setiap aA berlaku (a,a) R.

Contoh:

a.       Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R ₁ = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R ₁ tersebut bersifat refleksif.

b.      Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R ₂  = {(x,y)  x kelipatan y, x, y  B}. Maka R ₂ = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R ₂ tersebut bersifat refleksif.

c.       Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R ₃ = {(x,y) x + y <10, x,y  A}. Maka R ₃ ={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), 5,4)}. Maka R ₃ bukan merupakan relasi Invers

3.     Relasi Simetrik

      R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b) R berlaku (b,a) R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh:

a.       Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R ₄ = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R₄ tersebut bersifat simetris.

b.      Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R ₅ = { (x,y) ∈ x kelipatan y , x, y ∈ B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R 5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) ∈ R ₅ tetapi (2,4) bukan∈ R _{5 .}

Note : R disebut relasi simetrik jika dan hanya jika R = R ^{-1 .}

4.     Relasi anti Simetrik

      Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b) R dan (b,a) R maka a=b.

Contoh:

a.       Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R 6= { (x,y) ∈ x kelipatan y , x,y ∈ B }. Dengan demikian R 6 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R 6 tersebut bersifat antisimetris.

b.      Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R 7 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) } Relasi R 7 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)∈R 7 dan (2,1) ∈ R 7, tetapi 1 ≠ 2.

5.     Relasi Transitif

      R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b) R dan (b,c) R maka

(a,c) R. Dengan kata lain Jika a berelasi dengan b dan b berelasi

dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh:

a.   Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R ₈ = {(1,1) , (1,2) , (2,2) ,    (2,1) ,   (3,3)} Relasi R ₈ tersebut bersifat transitif.

b.   Relasi R ₉ = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada         himpunan A = {1, 2, 3} tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) ∈ R ₉ dan       (2,3) ∈ R ₉ , tetapi (1,3) bukan∈ R ₉ .

c.   Misalnyauntuk 5, 6, dan 7 makaberlakudalam R ₁₀ berlaku5 < 6, 6 < 7, dan5 < 7.

6.     Relasi Equivalen

      Relasi disebut sebgai relasi yang equivalen jika memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

Contoh:

a.       Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R ₁ = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R ₁ tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R 1 merupakan relasi ekivalen.

b.      Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R ₂ = { (x,y) ∈ x kelipatan y , x, y ∈ B } maka R ₂ = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R ₂ tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

7.     RelasiPengurutanSebagian (Partial Ordering)

      Relasidisebutsebgairelasiparsialordering jikamemenuhisifatreflektif, antisimetris, dantransitif.

Contoh:

a.       Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikanrelasi R ₃ = { (1,1) ,(1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R ₃ tersebutbersifatrefleksifdantransitif, tetapitidakbersifatantisimetris. Olehkarenaiturelasitersebutbukanmerupakanrelasipengurutansebagian.

b.      Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikanrelasi R ₄ = { (x,y) ∈x kelipatan y , x,y∈ B } maka R ₄ = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.Relasi R ₄tersebutbersifatrefleksif, antisimetrisdantransitif.Olehkarenaiturelasitersebutmerupakanrelasipengurutansebagian.